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応用数学 - 1階常微分方程式 (ソースを閲覧)

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 <math>y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C} \right \} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br>
 QED.<br>
+<br>
+==== 1階線形微分方程式の例題 ====
+ 例題1. 1階線形微分方程式の一般解を求めよ。
+ <math>x \frac{dy}{dx} + y = 2x</math>
+ 解答.
+ 両辺をxで割ると、<math>\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2</math> より、
+ <math>f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = 2</math> となる。
+ 積分因子 <math>h(x)</math> を求める。
+ <math>h(x) = e^{\int{f(x) dx}} = e^{\int{\frac{1}{x} dx}} = e^{\ln(|x|)} = |x| \cdots (2)</math>
+ 上記の式を <math>y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C} \right \}</math> に代入すると、
+ <math>y = \frac{1}{|x|} \left \{ \int{2 |x|dx + C} \right \}</math>
+ ここで、<math>|x| = \plusmn x</math> より、
+ <math>
+ \begin{align}
+ y &= \frac{1}{\plusmn x} \left \{ \int{2 \plusmn x dx + C} \right \} \\
+ &= \frac{1}{x} \left \{ \int{2x dx + C} \right \} \\
+ &= \frac{1}{x} (x^2 + C) \\
+ &= x + \frac{C}{x}
+ \end{align}
+ </math>
+ ゆえに、一般解は次式となる。
+ <math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]