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「線形代数の基礎 - 逆行列」の版間の差分
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→逆行列の求め方 1 : 余因子を用いる
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次に、余因子を計算する。<br> | 次に、余因子を計算する。<br> | ||
<math>\Delta_{11}=(-1)^{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-2</math><br> | <math> | ||
<math>\Delta_{21}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3</math><br> | \Delta_{11}=(-1)^{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \qquad \qquad | ||
<math>\Delta_{31}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1</math><br> | \Delta_{12}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \qquad \qquad | ||
\Delta_{13}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4 | |||
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\Delta_{21}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \qquad \qquad | |||
\Delta_{22}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad | |||
\Delta_{23}=(-1)^{5} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 | |||
</math><br> | |||
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\Delta_{31}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad | |||
\Delta_{32}=(-1)^{5} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad | |||
\Delta_{33}=(-1)^{6} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2 | |||
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Δ11からΔ33より、余因子行列Δは以下となる。<br> | |||
<math>\Delta = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -4 \\ -3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math><br> | |||
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余因子行列Δを転置する。<br> | |||
<math>\Delta^{T} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}</math><br> | |||
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したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br> | したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br> | ||
<math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br> | <math>A^{-1} = \frac{\Delta^{T}}{\det A} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br> | ||
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